El rectángulo dorado (denominado
también rectángulo áureo) es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual a
la razón
aúrea.1 Es decir que es aquél rectángulo que al substraer la imagen
de un cuadrado igual al de su lado
menor, el rectángulo resultante es igualmente un rectángulo
dorado. A partir de este rectángulo se puede obtener la espiral dorada, que es una espiral
logarítmica.
Construcción
Un método para construir un
rectángulo dorado. El cuadrado está resaltado en rojo. Las dimensiones
resultantes son la razón áurea.
En la matemática clásica se construye a partir de
la regla y compás siguiendo
los pasos:
1. Se construye un cuadrado de lado unidad ABCD
2. Traza una línea desde la mitad
del lado del cuadrado (G) hasta una de sus esquinas, dando un segmento GC
3. Empleando esta línea GC como
radio, se coloca la punta del compás en la mitad del cuadrado y se abate hasta
cortar en E.
4. Se completa el rectángulo AEDF
así como el rectángulo BCEF.
Desarrollos
De acuerdo con
el matemático y divulgador científico Mario Greco,
desde la publicación del libro de Bruno Miere titulado Divina Proportione in 1509,2 Fue
cuando la razón dorada aparece descrita en los tratados de arte y de
arquitectura,"3 haciendo
que muchos artistas y arquitectos emplearan su cantidad en el diseño por
considerarlo estéticamente agradable.4
Algebraica
Si
la longitud del lado mayor se denomina x, se tiene entonces por definición que
se respeta la siguiente igualdad:
Esto
lleva a tener que resolver la ecuación
de segundo grado:
En
la que una de las dos raíces es la proporción
dorada.
El rectángulo de Euclides
Euclides obtiene
el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectángulo BEFC es
asimismo áureo.
Se
trata de una de las demostraciones más conocidas desde la antigüedad. El rectángulo cuyos
vértices se definen por los puntosAEFD se define como áureo
debido a que sus lado mayor AE y su lado corto AD presentan la proporción del
número áureo. El matemático griego Euclides, en su
proposición 2.11 de la obra Los elementos,
obtiene su construcción. Siendo el triángulo GBCpitagórico,
se tiene que GC (la hipotenusa)
tiene como valor:
Con
centro en G, prolongando hasta la recta AE, se obtiene por intersección el
punto E, y por lo tanto:
con
todo ello se puede ver que resulta evidente que los lados:
de
donde, finalmente:
Por
otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que este último
es asimismo un rectángulo áureo.
Generación
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Rectángulo
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El
rectángulo dorado en la industria
La norma DIN 476 es
la que define la medida del DIN A4 y otros tamaños de papel. El DIN A4 y sus
derivados A3, A2... no mantienen las proporciones
del rectángulo dorado, sino que mantienen la relación √2 = 1.4142...
En la arquitectura
El rectángulo
áureo fue
calificado por los griegos de la clásica Hélade como una de las figuras
geométricas más bellamente estructuradas. Por un largo lapso de siglos, los
arquitectos utilizaron este cuadrilátero de noble proporción para la planeación
de templos, rascacielos y edificaciones de diversa índole. Los compatriotas de
Sócrates construyeron el Partenón de Atenas en el siglo V a.C. El rectángulo
que encierra la fachada delantera es un rectángulo áureo
Existen muchos mitos acerca de
que objetos de uso diario contienen las medidas de un triángulo áurea como
el carnet de identidad, una tarjeta de crédito o una cajetilla de tabaco,
por eso nosotros en el siguiente espacio lo comprobaremos para así
desmentir o afirmar un mito:
CARNET
DE IDENTIDAD
Para esta prueba usaremos un
carnet de identidad de los antiguos y que aún tienen validez, tal como este:
Sus medidas son de 4.5cm de
ancho y 7.84cm de largo y en una representación informática como la siguiente
podemos observar que sus medidas no coinciden con un rectángulo aurea.
Pincha sobre la imagen para agrandar
También lo podemos demostrar de
forma analítica con los siguientes cálculos, la división entre el largo y el
ancho es, 7.84/4.5=1,7422222, por tanto no cumple con un rectángulo áureo.
CAJETILLA
DE TABACO
También supuestamente una
cajetilla de tabaco posee las medidas de un rectángulo áureo
Podemos observar en la
siguiente fotografía que esto no es verdad pero sí que es cierto que se parece
bastante:
Pincha sobre la imagen para agrandar
TARJETA
DE CRÉDITO. DNI ELECTRÓNICO
Otro ejemplo es una tarjeta de
crédito de circulación legal por España. Sus dimensiones coinciden con las del
DNI electrónico ¿podría cumplir las medidas, o No?
Como en los casos anteriores en
este tampoco se cumple un rectángulo áureo en su forma. Sus medidas son de
5.1cm de ancho y 8.25cm de largo. 8.25/5.1 =1,61764
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En "el hombre ideal" de Leonardo,
el cociente entre el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia que
tiene por centro el ombligo, es el número de oro.
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Otra propiedad de este rectángulo es que si
se colocan dos iguales como en la figura de la derecha, se forma otro
rectángulo áureo más grande.
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Los egipcios ya conocían
esta proporción y la usaron en la arquitectura de la pirámide de Keops (2600
años a.C.).
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Aparece en pinturas de Dalí, en la Venus de
Boticelli. Esta razón también la usaron en sus producciones artistas del
Renacimiento. En España, en la Alhambra, en edificios renacentistas como El
Escorial ... y en la propia Naturaleza en las espirales de las conchas de ciertos
moluscos.
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Los griegos también la usaron en sus
construcciones, especialmente El Partenón, cuyas proporciones están
relacionadas entre sí por medio de la razón áurea.
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El símbolo Ø para la relación áurea fue elegido por el matemático
americano Mark Barr. La letra fue elegida porque era la primera del nombre de
Phidias que solía usar la relación áurea en sus esculturas.
Podéis utilizar la regla de los
tercios para comprobar en que imágenes coincide y en que otras no. Simplemente
con vuestras propias imágenes o con la ayuda de nuestro amigo google,
Abriremos una imagen en algún programa de edición como por ejemplo
photoshop, gimp o lightroom, seleccionamos la herramienta de corte y usamos la
opción para cortar con la regla de los tercios o en proporción áurea. La teoría
dice que usar este tipo de composición para nuestras imágenes, provoca en
el espectador una percepción mas bella y enriquecida de las mismas.
Entonces… la conclusión es que nunca debo centrar las imágenes?
La respuesta ha esta pregunta, como muchos imaginabais es no. Como ya he
comentado tanto en el cine como en la fotografía no existen normas y centrar una
imagen no supone siempre quitarle belleza a la misma, cada proyecto necesita su
encuadre, su motivo y su justificación.
ÁUREA EN
MÚSICA
He
creído conveniente comenzar el estudio por la música, dado que, muchas de las
obras pictóricas y arquitectónicas que más tarde veremos basan sus proporciones
en relaciones musicales, a su vez basadas en relaciones áureas. Conociendo
estas relaciones de antemano, se facilita la visión, comprensión y
descomposición de las obras para su estudio.
La
particularidad del sistema pitagórico fue encontrar en las matemáticas una
clave para resolver el enigma del Universo y en el número, el principio de
todas las cosas. Las teorías en torno a la música ocupan un puesto de especial
importancia para esta escuela pitagórica; mantenía una posición central dentro
de la metafísica y la cosmología pitagóricos.
Las
matemáticas y la música se unen en el concepto pitagórico de
"armonía", que significa proporción de las partes de un todo. Los
pitagóricos se guiaron siempre en sus investigaciones por el principio de que
la música debía ser reconducida hasta las proporciones más simples, ya que
debía reflejar en todo la armonía universal.
Pitágoras
descubrió la resonancia de una cuerda tensa, y también que los sonidos
obtenidos corresponden a las diferentes fracciones de la cuerda; en
consecuencia, estos hechos se pueden reducir a relaciones de números enteros y
la armonía tiene un aspecto matemático. Según la leyenda, Pitágoras descubrió
la armonía al escuchar el sonido de martillos provenientes de diferentes
yunques en el taller de un herrero. El peso de estos martillos se correspondía
con los números 12, 9, 8, 6; el peso del cuarto martillo daría el tono, y el
del primer martillo, que era el doble del menor, daba la octava. El peso de los
otros dos, que son las media aritmética y armónica de los dos anteriores darían
la quinta y la cuarta. Llevadas estas proporciones a un monocordio vemos que el
tono o nota base lo da el sonido de la cuerda entera, es lo que se llamaba
unísono, si la cuerda tiene la mitad de la longitud original suena una octava
más alta que la anterior, la proporción 1/2, que produce el mismo sonido que la
cuerda entera solo que más agudo se llama octava (DO-DO) porque se llega a él a
través de ocho intervalos de la escala, ocho notas, ocho teclas blancas del
teclado; a esta proporción llamaban los griegos diapasón. Si su longitud son
2/3 de la primera, la cuerda emite la quinta de la nota base, la proporción 2/3
se llamó diapente, denominada hoy quinta (DO-SOL) pues se llega a ella a través
de cinco intervalos. Por último, si su longitud son 3/4 de la primitiva, la
nota que suena es la cuarta de la base, a la proporción 3/4 se le llamó
diatésaron, conocida ahora como cuarta (DO-FA) con cuatro intervalos.
Los
pitagóricos atribuían a las distancias entre los astros, relaciones análogas a
las de las longitudes de las cuerdas vibrantes que dan las notas
características de los modos musicales; es lo que ellos denominaban la armonía
de las esferas. Platón retomó las ideas de que la materia y el mundo están
organizados según estructuras matemáticas producidas explícitamente como
análogas a estructuras musicales. Bajo la influencia de Platón, la Edad Media y
el Renacimiento concedieron una gran importancia a esta “música mundana”,
armonía del mundo.
Los
primeros teóricos de los siglos VIII y IX se hayan muy ligados a los principios
del mundo antiguo. San Agustín en su tratado De Música daba un contenido
preciso a su fórmula: “la música es la ciencia de la modulación justa...”. Se
retoma en esta época de la tradición pitagórica la relación entre el movimiento
de los cielos, la música y el número, entre los que reina la máxima
concordancia. La belleza de tipo matemático-musical, por la cual se rige el
mundo, principio pitagórico-platónico, representa una de los puntos cardinales
de todo el pensamiento medieval.
El
hecho de que el símbolo de la Escuela Pitagórica fuese el pentagrama hace
pensar que los pitagóricos ya conocían sus armonías numéricas y geométricas y
por lo tanto que conocían la razón áurea, aunque la primera referencia escrita
sobre ésta sea obra de Euclides. Otro hecho que nos aproxima al conocimiento de
números inconmensurables por parte de los pitagóricos es el famoso teorema de
Pitágoras sobre el triángulo 3-4-5, que como ya vimos en la fig.5 tenía
proporciones próximas a las áureas. Veamos ahora las relaciones reales que
existen entre el número de oro y las proporciones musicales.
La
proporción 2/3 = 0.666 del diapente es una aproximación cercana a la proporción
0.618… de la sección áurea. El diatésaron es idéntico a la proporción 3/4 del
triángulo de Pitágoras. El diapasón, tiene la proporción 1/2 = 0.5 de un
rectángulo compuesto por dos cuadrados iguales y una diagonal de √5, o lo que
es lo mismo, la proporción mayor de un segmento áureo con la porción menor a
ambos lados.
Si nos
fijamos en el teclado de un piano, reconoceremos sus proporciones armoniosas y
áureas: hay 8 teclas blancas, 5 teclas negras y ellas aparecen en grupos de 2 y
de 3. La serie 2/3/5/8 es, por supuesto, el comienzo de la serie de Fibonacci,
y las proporciones de todos esos números gravitan hacia la proporción
irracional y perfectamente recíproca de 0.618 de la sección áurea.
Las
proporciones 1/2, 2/3 y 3/4 reaparecen en los primeros y más fuertes armónicos,
también llamados parciales o componentes, que reverberan dentro de cada sonido
musical, combinándose con el fundamental, como si simultáneamente se pulsaran
más cuerdas invisibles, que acompañan y complementan el sonido fundamental.
Esta unión dinergética de la armonía y el sonido fundamental es lo que da a los
sonidos musicales plenitud, vitalidad y belleza –se lo llama timbre- y lo que
los distingue del mero ruido.
Las dos
modalidades principales de las escalas occidentales, la menor (considerada
triste) y la mayor (asociada con la brillantez) difieren una de otra únicamente
en la longitud de los pasos entre ciertos intervalos, tal como las partes menor
y mayor de la sección áurea difieren entre sí sólo por sus longitudes. Y tal
como la unión de las partes menor y mayor nos deleita en las armonías visuales
de la sección áurea, así también la unión de las escalas menor y mayor, llamada
modulación, nos encanta cuando la oímos en acordes y melodías.
Tanto
la escala menor como la mayor tienen, cada una, sus propias variantes –llamadas
dominantes y subdominantes- con sus propios conjuntos de acordes: y la relación
de éstos con sus contrapartidas tónicas se ajusta nuevamente a las proporciones
antes mencionadas. La dominante es el intervalo de quinta desde la nota clave
(la primera nota de la escala) y la subdominante, el de cuarta.
El
poder de la sección áurea para crear armonía surge de su exclusiva capacidad de
aunar las diferentes partes de un todo de modo que, conservando cada una su
propia identidad, las combina no obstante en el patrón mayor de un todo único.
El cociente de la sección áurea es un número irracional e infinito que sólo
puede ser aproximado y, sin embargo, tales aproximaciones son posibles incluso
dentro de los límites de los números enteros mínimos.
La
relación de la música con las demás artes es indiscutible, muchos han llegado a
decir que es de ésta de dónde parten todas las demás; pero no trataremos aquí
este tema sino que nos centraremos en aspectos más particulares de esta
relación, como son: el estudio de las proporciones de la música(recordemos que
se trataba de proporciones áureas) y su uso en dos artes concretas, la Pintura
y la Arquitectura.
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